4. В четырёхугольнике MРКН ∠РМК = ∠НКМ, РК ∥ МН. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны РК и МН в точках A и B соответственно. Докажите, что АР = НВ.

Обозначим O точку пересечения диагоналей. Так как PK ∥ MH, а диагонали MK и PH пересекаются, треугольники POK и HOM подобны: вертикальные углы при O равны, а соответствующие углы при параллельных PK и MH равны. Поэтому OK/OM = PK/MH.

Из ∠PMK = ∠HKM и PK ∥ MH следует, что треугольники PMK и HKM подобны по двум углам. Соответствующие стороны дают PK/MH = MK/KM = 1, значит, PK = MH. Тогда из подобия POK и HOM получаем OK = OM, а также OP = OH.

Рассмотрим треугольники AOP и BOH. У них ∠AOP = ∠BOH как вертикальные, OP = OH, а ∠APO = ∠BHO как накрест лежащие при параллельных PK и MH. Треугольники равны, следовательно, AP = HB.

Доказано: AP = HB.