5. На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, AB = BM = KD, ∠AMB = 30°. Найдите угол параллелограмма и сравните отрезки AM и CK.

Из AB = BM следует, что треугольник ABM равнобедренный с основанием AM. Поэтому ∠BAM = ∠AMB = 30°, а ∠ABM = 120°. Так как M лежит на BC, углы ABC и ABM смежные, следовательно, ∠B = 60°. В параллелограмме противоположные углы равны, соседние — дополнительные.

Чтобы сравнить отрезки, обозначим AB = BM = KD = s, а AD = BC = L. Поскольку ∠ABM = 120°, угол между BA и BM равен 120°. По теореме косинусов в треугольнике ABM: AM² = s² + s² − 2s² cos 120° = 3s², значит, AM = √3s.

На стороне BC имеем CM = L − s; на стороне AD — AK = L − s. В треугольнике ACK угол между CA и AK равен 60°, поскольку ∠A = 120°, а CA образует с AD угол 60°. Тогда по теореме косинусов CK² = AC² + AK² − 2·AC·AK cos 60°. Из треугольника ABC по теореме косинусов AC² = s² + L² − sL. Подстановка даёт CK² = L² − 2Ls + s² = (L − s)², то есть CK = L − s.

Условие не задаёт длину стороны AD (или BC), поэтому однозначно сравнить AM и CK нельзя: CK = AD − AB, тогда как AM = √3·AB. При AD − AB < √3·AB будет AM > CK; при равенстве отрезки равны; при AD − AB > √3·AB будет AM < CK.

Ответ: острый угол параллелограмма равен 60° (тупой — 120°). Сравнение AM и CK без дополнительного условия о длинах сторон определить нельзя.