4. В единичном кубе \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) найдите расстояние от точки B до плоскости \((DA_1C_1)\). (Сделать рисунок, точка D — начало координат)

Введём координаты: \(D=(0;0;0)\), \(A=(1;0;0)\), \(C=(0;1;0)\), \(D_1=(0;0;1)\). Тогда \(B=(1;1;0)\), \(A_1=(1;0;1)\), \(C_1=(0;1;1)\).

Направляющие векторы плоскости \((DA_1C_1)\): \(\overrightarrow{DA_1}=(1;0;1)\), \(\overrightarrow{DC_1}=(0;1;1)\). Их векторное произведение можно взять равным \((-1;-1;1)\), поэтому уравнение плоскости через начало координат: \(-x-y+z=0\).

Расстояние от \(B=(1;1;0)\) до этой плоскости:

\(d=\frac{|-1-1+0|}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).