4. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребре DD₁ выбрана точка E так, что DE:ED₁ = 1:3. Вычислите косинус угла между прямыми AE и CE.

Примем координаты вершин: A=(0,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), D₁=(0,1,1). Так как DE:ED₁=1:3 и DD₁=1, получаем E=(0,1,1/4).

Направляющие векторы прямых:

\(\overrightarrow{AE}=(0,1,\frac14)\), \(\overrightarrow{CE}=(-1,0,\frac14)\).

Их скалярное произведение равно \(\frac{1}{16}\), а длина каждого вектора равна \(\frac{\sqrt{17}}{4}\). Поэтому косинус угла между прямыми равен

\(\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{AE}|\,|\overrightarrow{CE}|}=\frac{1/16}{17/16}=\frac{1}{17}.\)

Ответ: \(\frac{1}{17}\).