6. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми A₁C и AD.

Прямую AD можно заменить параллельной ей прямой BC, проходящей через точку C. Угол между A₁C и AD равен углу между A₁C и BC.

В квадратной грани ABB₁A₁ диагональ A₁B образует угол 45° с ребром AB. Так как BC перпендикулярна плоскости этой грани, треугольник A₁BC прямоугольный при B; его катеты A₁B=\(\sqrt\)2 и BC=1. Следовательно, \(\tan\angle A_1CB=\sqrt2\).

Ответ: \(\arctan\sqrt2\) (примерно 54,7°).