4. В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — 8,5 см². Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см². Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию до сотых.

Пусть в классе \(n\) девушек и столько же юношей. При равной численности средний рост класса равен среднему двух групповых средних:

\(\overline{x}=(166.3+177.6)/2=171.95\) см, после округления до десятых — 172,0 см.

Чтобы найти общую дисперсию, учитываем как разброс внутри каждой группы, так и различие групповых средних. Среднее квадратов отклонений от общего среднего можно представить как среднее групповых дисперсий плюс среднее квадратов отклонений групповых средних от общего:

\(D=(8.5+9.6)/2+((166.3-171.95)^2+(177.6-171.95)^2)/2\).

Групповые средние отклоняются от общего на 5,65 см в разные стороны, поэтому \(D=9.05+5.65^2=9.05+31.9225=40.9725\) см². Округляем до сотых.

Ответ: средний рост — 172,0 см; дисперсия — 40,97 см².