4. В кубе A…D₁ найдите угол между прямой AB и плоскостью BCD₁.

Пусть ребро куба равно a. Выберем координаты A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D₁(0,a,a). Векторы BC=(0,a,0) и BD₁=(-a,a,a) лежат в плоскости BCD₁. Нормальный вектор этой плоскости: n=BC×BD₁=(a²,0,a²), параллелен (1,0,1).

Направляющий вектор прямой AB — v=(1,0,0). Если φ — угол между прямой и плоскостью, то sin φ=|v·n|/(|v||n|)=1/√2. Значит, φ=45°.

Ответ: 45°.