4. В окружности с центром O проведены хорды DE и PK, причём ∠DOE = ∠POK. Докажите, что эти хорды равны.

Рассмотрим треугольники DOE и POK.

1. OD = OP как радиусы одной окружности.
2. OE = OK как радиусы одной окружности.
3. ∠DOE = ∠POK по условию.

Следовательно, треугольники DOE и POK равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому их соответствующие третьи стороны равны:

DE = PK.

Ответ: хорды DE и PK равны.