4. В параллелограмме \(ABCD\) \(AB=4\) см, \(AD=5\sqrt{2}\) см, \(\angle A=45^\circ\). Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.

Пусть \(AC\) и \(BD\) — диагонали. По теореме параллелограмма с учётом угла между сторонами:

\(AC^2=AB^2+AD^2+2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos A\).

\(AC^2=16+50+2\cdot4\cdot5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=106\), поэтому \(AC=\sqrt{106}\) см.

Для второй диагонали знак перед слагаемым с косинусом меняется:

\(BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos A=16+50-40=26\), поэтому \(BD=\sqrt{26}\) см.

Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними:

\(S=AB\cdot AD\cdot\sin A=4\cdot5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=20\text{ см}^2\).

Ответ: диагонали равны \(\sqrt{106}\) см и \(\sqrt{26}\) см; площадь — \(20\text{ см}^2\).