№4. В параллелограмме ABCD AB ≠ BC и ∠A — острый. Из вершин B и D к стороне AC проведены перпендикуляры BK и DM. Доказать, что BMDK — параллелограмм.

Пусть K и M — основания перпендикуляров на AC. Тогда BK ⟂ AC и DM ⟂ AC, следовательно, BK ∥ DM.

Рассмотрим прямоугольные треугольники BKC и DMA. У них гипотенузы BC=AD (противоположные стороны параллелограмма ABCD равны), а острые углы между соответствующими параллельными сторонами и AC равны. Поэтому треугольники равны, откуда BK=DM.

В четырёхугольнике BMDK противоположные стороны BK и MD параллельны и равны. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон одновременно параллельна и равна, то это параллелограмм. Значит, BMDK — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.