4. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла ADC пересекает сторону BC в точке E под углом DEC = 60° и делит сторону BC на отрезки BE = 3 см и CE = 4 см. Найдите: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма; в) вид четырёхугольника ABED.

а) Точки B, E, C лежат на одной прямой, а AD ∥ BC. Поэтому угол между DE и DA равен углу DEC, то есть 60°. DE — биссектриса угла ADC, значит, ∠ADC = 2 · 60° = 120°. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, а противоположные углы равны. Следовательно, ∠B = ∠D = 120°, ∠A = ∠C = 60°.

б) ∠DCE = 60°, поскольку CD образует с BC такой же острый угол, как с параллельной ей прямой AD. В треугольнике DCE углы при E и C равны 60°, поэтому и третий угол равен 60°: треугольник DCE равносторонний. Значит, CD = CE = 4 см. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD = 4 см, BC = AD = BE + CE = 3 + 4 = 7 см. Тогда P = 2(4 + 7) = 22 см.

в) В четырёхугольнике ABED стороны AD и BE параллельны, поскольку AD ∥ BC, а BE лежит на BC. Кроме того, AB = DE = 4 см: AB = CD, а треугольник DCE равносторонний. Значит, ABED — равнобедренная трапеция.

Ответ: а) ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°; б) 22 см; в) равнобедренная трапеция.