4. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны BC, точка L лежит на стороне CD так, что CL : LD = 2 : 1. Выразите векторы AK и KL через векторы a = AB и d = AD.

Пусть A — начало отсчёта. Тогда вектор AB = a, вектор AD = d, а вектор AC = a + d.

1. Так как K — середина BC, вектор BK = 1/2 вектора BC = 1/2 d. Поэтому вектор AK = вектор AB + вектор BK = a + 1/2 d.
2. Точка L делит CD в отношении CL : LD = 2 : 1, значит, вектор CL = 2/3 вектора CD = −2/3 a. Следовательно, вектор AL = вектор AC + вектор CL = 1/3 a + d.
3. Вектор KL = вектор AL − вектор AK = (1/3 a + d) − (a + 1/2 d) = −2/3 a + 1/2 d.

Ответ: вектор AK = a + 1/2 d; вектор KL = −2/3 a + 1/2 d.