4. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке O. а) Выразите AM через AB и AD. б) Выразите BO через BA и BC. в) Выразите OD через AP и AM, если P — середина отрезка CD.

Обозначим векторы AB и AD через u и v. Тогда BC=v, а в параллелограмме диагональ AC=u+v.

1. Так как M — середина BC, вектор BM равен половине BC. По правилу сложения векторов: AM=AB+BM=AB+½AD.
2. Диагонали BD и AM пересекаются в отношении BO:OD=1:2. Следовательно, BO=⅓BD. При этом BD=BA+AD=BA+BC, поэтому BO=⅓(BA+BC).
3. Так как P — середина CD, AP=AD+½AB. Из пункта а) AM=AB+½AD. Следовательно, OD=⅔(AB−AD)=⁴⁄₃(AM−AP).

Ответ: а) AM=AB+½AD; б) BO=⅓(BA+BC); в) OD=⁴⁄₃(AM−AP).