4. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. Найдите сторону KP, если ME = 24 см, а периметр параллелограмма равен 108 см.

Так как \(KE\) — биссектриса угла K, то \(\angle MKE=\angle EKP\). При этом \(MN\parallel KP\), поэтому \(\angle KEM=\angle EKP\). Следовательно, \(\angle MKE=\angle KEM\), а треугольник KME равнобедренный: \(KM=ME=24\) см.

Из периметра параллелограмма: \(2(KM+KP)=108\), значит \(KM+KP=54\). Тогда \(KP=54-24=30\) см.

Ответ: 30 см.