№ 4. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

а) Так как \(ME\parallel KP\), то \(\angle KEM\) равен углу между биссектрисой \(KE\) и стороной \(KP\). Поскольку \(KE\) — биссектриса угла \(MKP\), этот угол равен \(\angle MKE\). Следовательно, в треугольнике KME равны углы при K и E, а значит, противоположные им стороны равны: \(KM=ME\). Треугольник KME равнобедренный.

б) Из доказанного \(KM=ME=10\) см. Пусть \(KP=x\) см. Периметр параллелограмма равен \(2(KM+KP)=52\), поэтому \(2(10+x)=52\), откуда \(x=16\).

Ответ: \(KP=16\) см.