4. В параллелограмме MKNZ диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ, — параллелограмм.

Пусть A, B, C и D — соответственно середины отрезков OM, OK, ON и OZ.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина MN и KZ. Следовательно, лучи OM и ON противоположны, как и лучи OK и OZ. Значит, A и C расположены на одной прямой по разные стороны от O, причём \(OA=OC\); аналогично, \(OB=OD\).

Таким образом, диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются и делятся точкой O пополам. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.