4. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AB=12, а треугольник AOB — равносторонний. Найдите площадь прямоугольника.

В равностороннем треугольнике \(AOB\) все стороны равны, поэтому \(AO=BO=AB=12\). Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, следовательно, диагональ прямоугольника равна \(24\).

Пусть стороны прямоугольника равны \(12\) и \(x\). По теореме Пифагора для его диагонали:

\(12^2+x^2=24^2\), поэтому \(x^2=576-144=432\), откуда \(x=12\sqrt{3}\).

Тогда площадь равна \(S=12\cdot12\sqrt{3}=144\sqrt{3}\).

Ответ: \(144\sqrt{3}\) квадратных единиц.