4. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Угол AOD = 60°. Меньшая сторона равна 8 см. Найдите периметр прямоугольника. Выполните рисунок.

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(OA=OD\). Треугольник AOD равнобедренный, а его вершина при O равна 60°. Следовательно, оба угла при основании тоже равны 60°, и треугольник AOD равносторонний.

Значит, \(AD=AO\). Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \(a=8\) см, а большая — b. Из геометрии прямоугольника при угле между диагоналями 60° получаем отношение сторон \(b^2=3a^2\), то есть \(b=8\sqrt3\) см. Тогда периметр:

\(P=2(a+b)=2(8+8\sqrt3)=16(1+\sqrt3)\) см.

Ответ: \(16(1+\sqrt3)\) см.