4*. В прямоугольнике ABCD O — точка пересечения диагоналей; DE и HB — высоты треугольников ABO и COD соответственно. ∠BOH = 60°, AH = 5 см. Найдите EO.

1. Примем стандартную для рисунка конфигурацию: H лежит на AB, E — на CD; высоты означают DE ⟂ AO и BH ⟂ CO. В прямоугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому O — центр симметрии, переводящий A в C и B в D.
2. Поскольку BH ⟂ CO, а ∠BOH = 60°, угол между OB и OC равен 30°. Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB), а ∠AOB = 180° − 30° = 150°. Значит, его углы при основании равны 15°.
3. В прямоугольном треугольнике AOH имеем ∠AOH = 60° и AH = 5 см. Поэтому AO = AH / sin 60° = 10/√3 см.
4. Высоты DE и BH соответствуют друг другу при центральной симметрии относительно O, поэтому точки E и H симметричны и EO = OH. В прямоугольном треугольнике AOH, OH = AH / tan 60° = 5/√3 см.

Ответ: EO = 5/√3 см = 5√3/3 см.

В условии не приложен чертёж к задаче 4; решение использует указанное стандартное расположение точек на сторонах прямоугольника.