4. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90°, AB = 20 см, высота AD = 12 см. Найдите AC и cos C.

Высота \(AD\) проведена к гипотенузе \(BC\). Обозначим \(BD=x\), \(DC=y\).

Используем свойства высоты, проведённой к гипотенузе:

\[AD^2=BD\cdot DC,\]

\[AB^2=BD\cdot BC.\]

Так как \(BC=BD+DC=x+y\), получаем:

\[12^2=xy,\quad xy=144;\]

\[20^2=x(x+y)=x^2+xy.\]

Тогда:

\[400=x^2+144,\quad x^2=256,\quad x=16\text{ см}.\]

Следовательно, \(y=144:16=9\) см, а \(BC=16+9=25\text{ см}\).

Для второго катета:

\[AC^2=DC\cdot BC=9\cdot25=225,\]

\[AC=15\text{ см}.\]

Косинус угла C:

\[\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{25}=\frac35.\]

Ответ: \(AC=15\) см, \(\cos C=\frac35\).