4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠ C = 90°) биссектрисы CD и AE пересекаются в точке O. ∠ AOC = 105°. Найдите острые углы треугольника ABC.

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC (∠ C = 90°) острые углы будут ∠A и ∠B.

По условию, CD — биссектриса угла C, AE — биссектриса угла A.

CD делит угол C (90°) пополам, значит ∠ACD = ∠BCD = 90° / 2 = 45°.

AE делит угол A пополам. Обозначим ∠A как 2α, тогда ∠CAE = ∠EAB = α.

Рассмотрим треугольник AOC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. У нас есть ∠AOC = 105°.

Угол ∠CAO (он же ∠CAE) равен α.

Угол ∠ACO (он же ∠ACD) равен 45°.

В треугольнике AOC:

• \[ ∠AOC + ∠CAO + ∠ACO = 180° \]
• \[ 105° + α + 45° = 180° \]
• \[ 150° + α = 180° \]
• \[ α = 180° - 150° \]
• \[ α = 30° \]

Мы нашли, что α = 30°. Угол ∠A = 2α, значит:

• \[ ∠A = 2 \cdot 30° = 60° \]

Теперь найдем угол ∠B в треугольнике ABC. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

• \[ ∠A + ∠B = 90° \]
• \[ 60° + ∠B = 90° \]
• \[ ∠B = 90° - 60° \]
• \[ ∠B = 30° \]

Итак, острые углы треугольника ABC равны 60° и 30°.

Ответ: Острые углы треугольника ABC равны 60° и 30°.