3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть гипотенуза равна \( c \), а меньший катет — \( a \). Больший катет — \( b \).

В прямоугольном треугольнике один угол равен \( 90^{\circ} \). Второй острый угол равен \( 60^{\circ} \), значит, третий угол равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Меньший катет лежит напротив угла в \( 30^{\circ} \). Гипотенуза — \( c \).

По условию: \( c + a = 42 \) см.

Также мы знаем, что катет, противолежащий углу в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы:

\( a = \frac{1}{2} c \)

Подставим это значение \( a \) в первое уравнение:

\( c + \frac{1}{2} c = 42 \)

\( \frac{3}{2} c = 42 \)

\( c = 42 \cdot \frac{2}{3} \)

\( c = 14 \cdot 2 \)

\( c = 28 \) см

Ответ: 28 см.