4. В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°) биссектрисы CD и AE пересекаются в точке О. Величина угла AOC равна 115°. Найти меньший острый угол треугольника ABC.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°.
• CD — биссектриса угла C.
• AE — биссектриса угла A.
• CD и AE пересекаются в точке O.
• ∠AOC = 115°.

Найти: Меньший острый угол треугольника ABC.

Решение:

1. Свойства биссектрис:
   - CD делит ∠C (90°) на два угла по 45° (∠ACD = ∠BCD = 45°).
   - AE делит ∠A на два равных угла (∠CAE = ∠EAB).
   - CD является высотой и медианой, так как треугольник равнобедренный (∠A = ∠B = 45°).
2. Рассмотрим треугольник AOC:
   - Угол ∠AOC = 115°.
   - Угол ∠OAC = ∠CAE (так как AE — биссектриса). Обозначим ∠A = 2α, тогда ∠OAC = α.
   - Угол ∠OCA = ∠ACD = 45° (так как CD — биссектриса).
3. Сумма углов в треугольнике AOC:
   ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°
   115° + α + 45° = 180°
4. Решение уравнения:
   160° + α = 180°
   α = 180° - 160°
   α = 20°
5. Находим углы треугольника ABC:
   - Угол ∠A = 2α = 2 * 20° = 40°.
   - Угол ∠B = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°.
6. Меньший острый угол: Меньший острый угол треугольника ABC равен 40°.

Ответ: Меньший острый угол треугольника ABC равен 40°.