4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CH. AH = 9 см, AC = 3√10 см. Найдите площадь треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию: \(AC^2=AB\cdot AH\). Поэтому \(AB=\frac{(3\sqrt{10})^2}{9}=10\) см.

Тогда \(HB=AB-AH=10-9=1\) см. Для высоты к гипотенузе \(CH^2=AH\cdot HB=9\), значит, \(CH=3\) см.

Площадь равна \(S=\frac12\cdot AB\cdot CH=\frac12\cdot10\cdot3=15\text{ см}^2\).

Ответ: 15 см².