4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) провели высоту СМ. Найдите угол АВС, если АС = 2 см, АМ = 1 см.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AMC \).

В нём \( \angle AMC = 90° \), \( AC = 2 \) см, \( AM = 1 \) см.

Катет \( AM \) лежит против угла \( \angle ACM \). Гипотенуза — \( AC \).

Используем синус угла \( \angle ACM \):

\( \sin(\angle ACM) = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2} \)

Значит, \( \angle ACM = 30° \).

Так как \( \triangle ABC \) — прямоугольный, то \( \angle C = 90° \).

\( \angle ACB = \angle ACM + \angle BCM = 90° \)

\( \angle BCM = 90° - \angle ACM = 90° - 30° = 60° \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BCM \).

\( \angle BMC = 90° \). Угол \( \angle BCM = 60° \).

Сумма углов в \( \triangle BCM \) равна 180°.

\( \angle ABC + \angle BMC + \angle BCM = 180° \)

\( \angle ABC + 90° + 60° = 180° \)

\( \angle ABC + 150° = 180° \)

\( \angle ABC = 180° - 150° = 30° \)

Ответ: 30°.