4. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 70, высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 7√19. Найдите sin ∠ABC.

Пусть \(BC=a\), \(AC=b=70\), а гипотенуза \(AB=c\). Площадь можно выразить двумя способами: \(\frac{ab}{2}=\frac{c\cdot CH}{2}\), значит \(c=\frac{ab}{CH}\).

По теореме Пифагора \(c^2=a^2+b^2\). Подставляя выражение для c и возводя в квадрат, получаем \(\frac{a^2b^2}{CH^2}=a^2+b^2\), откуда \(a^2(CH^2-b^2)=b^2CH^2\).

Здесь \(CH^2=(7\sqrt{19})^2=931\), а \(b^2=4900\). Следовательно, \(CH^2-b^2=-3969<0\). Левая часть равенства отрицательна при \(a>0\), а правая положительна. Данные противоречивы: высота к гипотенузе не может быть больше катета AC.

Поэтому для указанного условия такого прямоугольного треугольника не существует, и искомый синус определить нельзя. Возможно, в условии неверно указано значение высоты или катета.