4. В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) проведены медиана СМ, биссектриса CD и высота CH. Найдите углы MCD и HCD, если ∠ABC = 28°.

Задание 4. Углы в прямоугольном треугольнике

Дано:

• \( △ ABC \) — прямоугольный.
• \( ∠ C = 90° \).
• \( ∠ B = 28° \).
• CM — медиана.
• CD — биссектриса.
• CH — высота.

Найти: \( ∠ MCD \) и \( ∠ HCD \).

Решение:

1. Найдем углы треугольника ABC:
• \( ∠ C = 90° \) (по условию).
• \( ∠ B = 28° \) (по условию).
• \( ∠ A = 180° - 90° - 28° = 62° \).
2. Медиана CM:
• Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. \( AM = MB = MC \).
• Следовательно, \( △ AMC \) и \( △ BMC \) — равнобедренные.
• В \( △ AMC \), \( ∠ ACM = ∠ A = 62° \).
3. Биссектриса CD:
• CD делит \( ∠ C \) пополам: \( ∠ ACD = ∠ BCD = 90° / 2 = 45° \).
4. Высота CH:
• CH перпендикулярна AB, значит \( ∠ CHA = ∠ CHB = 90° \).
• В прямоугольном \( △ CHB \): \( ∠ BCH = 180° - 90° - 28° = 62° \).
5. Найдем угол MCD:
• \( ∠ MCD = ∠ ACD - ∠ ACM \)
• \( ∠ MCD = 45° - 62° \)
• Здесь мы видим, что угол \( ∠ ACM \) больше \( ∠ ACD \). Это значит, что точка M лежит между D и B.
• Пересчитаем \( ∠ ACM \). В \( △ AMC \), \( ∠ MAC = 62° \), \( ∠ AMC = 180° - 62° - 62° = 56° \).
• Угол \( ∠ BCM = 180° - 56° = 124° \).
• В равнобедренном \( △ BMC \), \( ∠ MCB = ∠ B = 28° \).
• Таким образом, \( ∠ ACM = 180° - 28° - 28° = 124° \).
• Снова ошибка в рассуждениях. Вернемся к тому, что CM - медиана.
• В прямоугольном \( △ ABC \): \( ∠ A = 62° \), \( ∠ B = 28° \).
• Медиана CM делит \( ∠ C \). \( AM = MB = MC \). \( △ AMC \) — равнобедренный, \( ∠ ACM = ∠ A = 62° \).
• \( △ BMC \) — равнобедренный, \( ∠ BCM = ∠ B = 28° \).
• \( ∠ ACM + ∠ BCM = 62° + 28° = 90° \). Все верно.
• Биссектриса CD делит \( ∠ C \) на \( 45° \) и \( 45° \).
• \( ∠ ACD = 45° \).
• \( ∠ BCD = 45° \).
• Найдем \( ∠ MCD \):
• \( ∠ MCD = ∠ ACM - ∠ ACD \) (так как \( ∠ ACM = 62° \) и \( ∠ ACD = 45° \), то M находится 'дальше' от CB, чем D).
• \( ∠ MCD = 62° - 45° = 17° \).
• Найдем \( ∠ HCD \):
• \( ∠ HCD = ∠ BCD - ∠ BCH \) (так как \( ∠ BCD = 45° \) и \( ∠ BCH = 62° \), то H находится 'дальше' от CA, чем D).
• \( ∠ HCD = 62° - 45° = 17° \).

Ответ: Углы MCD и HCD равны 17°.