4. В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) провели высоту СМ. Найдите угол АВС, если АС = 2 см, АМ = 1 см.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМС. В нём катет АМ лежит против угла \( \angle ACM \).

\( \sin(\angle ACM) = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2} \).

Следовательно, \( \angle ACM = 30^{\circ} \).

Так как \( \angle C = 90^{\circ} \), то \( \angle BCM = \angle C - \angle ACM = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике АВС угол \( \angle ABC \) противолежащий катету \( AC \).

В прямоугольном треугольнике ВСМ угол \( \angle ABC \) смежный с углом \( \angle BCM \), но в данном контексте мы ищем \( \angle ABC \) из треугольника АВС.

Рассмотрим треугольник АВС. У нас есть \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = \angle BAC \). Мы знаем, что \( \angle ACM = 30^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике АМС: \( \sin(\angle A) = \frac{CM}{AC} \) и \( \cos(\angle A) = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2} \). Отсюда \( \angle A = 60^{\circ} \).

Тогда в прямоугольном треугольнике АВС:

\[ \angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \]

Ответ: 30°.