4. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, а прилежащий катет равен 40. Найдите второй катет.

Решение:

В прямоугольном треугольнике:

1. Сумма острых углов равна 90°.
2. Отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла.
3. Отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу угла.
4. Отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла.

Дано:

• Треугольник прямоугольный.
• Один острый угол = 30°.
• Прилежащий катет = 40.

Найти: Второй катет.

Решение:

1. Найдем второй острый угол: \( 90° - 30° = 60° \).
2. Пусть катет, равный 40, прилежит к углу 30°. Тогда противолежащий катет (который нам нужно найти) будет противолежать углу 30°.
3. Используем тангенс: \( \tan(30°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \).
4. \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{40} \), где \( x \) - искомый катет.
5. \( x = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \(\frac{40\text{√}3}{3}\).