4. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°. Расстояние между основанием высоты, проведённой к гипотенузе, и вершиной данного острого угла равно 6 см. Найдите расстояние между основанием высоты и вершиной другого острого угла данного треугольника.

Пусть высота к гипотенузе делит её на отрезки длиной 6 см и x см. Углы треугольника равны 30°, 60° и 90°.

Для прямоугольного треугольника высота к гипотенузе образует два подобных треугольника. Поэтому отношение отрезков гипотенузы равно отношению квадратов катетов:

\(\dfrac{x}{6}=\left(\dfrac{\text{катет напротив }60°}{\text{катет напротив }30°}\right)^2\).

В прямоугольном треугольнике катеты относятся как \(\sqrt{3}:1\), поэтому:

\(\dfrac{x}{6}=\left(\sqrt{3}\right)^2=3\).

Отсюда:

\(x=18\) см.

Ответ: 18 см.