4) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 6°. Найдите меньший острый угол данного треугольника.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90° \).
• Проведем высоту CD к гипотенузе AB и медиану CM к гипотенузе AB.
• По условию, угол между высотой и медианой равен 6°, то есть \( \angle DCM = 6° \).
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: \( CM = AM = BM = \frac{1}{2} AB \).
• Рассмотрим треугольник CMD. \( \angle CDM = 90° \) (так как CD — высота).
• В треугольнике CMD: \( \angle CMD + \angle DCM + \angle CDM = 180° \)
• \[ \angle CMD + 6° + 90° = 180° \]
• \[ \angle CMD = 180° - 90° - 6° = 84° \]
• Так как CM — медиана, то \( AM = BM \). Треугольник CMB — равнобедренный (CM = BM).
• Угол при основании MB равен \( \angle MCB = \angle MBC \).
• \[ \angle MCB = \angle ABM \] (угол МСВ и угол А, так как медиана равна половине гипотенузы).
• В прямоугольном треугольнике CMB: \( \angle MCB + \angle MBC + \angle CMB = 180° \)
• \[ \angle MCB + \angle MBC + 84° = 180° \]
• \[ \angle MCB + \angle MBC = 96° \]
• Так как \( \angle MCB = \angle MBC \), то:
• \[ 2 \cdot \angle MBC = 96° \]
• \[ \angle MBC = 48° \]
• Итак, один из острых углов треугольника ABC (угол B) равен 48°.
• Другой острый угол A равен: \( \angle A = 90° - 48° = 42° \).
• Меньший острый угол равен 42°.

Ответ: 42°