4) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 6°. Найдите меньший острый угол данного треугольника.

Решение:

• Пусть \( \angle A \) и \( \angle B \) — острые углы прямоугольного треугольника, \( \angle C = 90° \).
• Пусть CD — высота, CM — медиана, проведенные из вершины C.
• По условию, угол между высотой и медианой равен \( \angle DCM = 6° \).
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Отрезки, на которые она делит гипотенузу, равны между собой. Значит, \( AM = MC = MB \).
• Рассмотрим треугольник \( △ AMD \). \( △ CMD \) — прямоугольный. \( △ CMB \) — равнобедренный (так как \( MC = MB \)).
• В равнобедренном \( △ CMB \) \( \angle MCB = \angle MBC = \angle B \).
• Угол \( △ CMD = 6° \).
• В прямоугольном \( △ ACD \), \( △ BCD \) : \( △ ACD = 90 - △ A \). \( △ BCD = 90 - △ B \).
• Угол между высотой и медианой равен разности острых углов, деленной пополам: \( |△ A - △ B| / 2 = 6° \).
• \( |△ A - △ B| = 12° \).
• Так как \( △ A + △ B = 90° \), и \( △ A \) и \( △ B \) — острые углы, то \( △ A = 90° - △ B \).
• Подставим это в \( |△ A - △ B| = 12° \): \( |(90° - △ B) - △ B| = 12° \).
• \( |90° - 2△ B| = 12° \).
• Возможны два случая:
• 1) \( 90° - 2△ B = 12° \) => \( 2△ B = 78° \) => \( △ B = 39° \). Тогда \( △ A = 90° - 39° = 51° \).
• 2) \( 90° - 2△ B = -12° \) => \( 2△ B = 102° \) => \( △ B = 51° \). Тогда \( △ A = 90° - 51° = 39° \).
• В обоих случаях острые углы равны 39° и 51°.
• Меньший острый угол — 39°.

Ответ: 39°