5) В прямоугольном треугольнике АВМ гипотенуза АВ равна 9,6 см, угол В равен 60°, МС — высота. Найдите расстояние от точки С до прямой АМ.

Решение:

• Треугольник АВМ — прямоугольный, \( △ AMB = 90° \).
• \( AB = 9,6 \) см. \( △ B = 60° \).
• Найдем \( △ A \): \( △ A = 180° - 90° - 60° = 30° \).
• Найдем катеты треугольника АВМ:
• \( AM = AB ⋅ `\cos(60°) = 9,6 ⋅ 0,5 = 4,8 \) см.
• \( BM = AB ⋅ `\sin(60°) = 9,6 ⋅ \frac{\sqrt{3}}{2} = 4,8\sqrt{3} \) см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник АМС. \( △ AMC = 90° \).
• Угол \( △ A = 30° \).
• Нам нужно найти расстояние от точки С до прямой АМ, которое равно высоте СК, проведенной из вершины С к гипотенузе АВ (в данном контексте, АМ является частью АВ).
• Однако, в условии сказано, что МС — высота. Это означает, что \( △ AMC = 90° \). Но по условию \( △ AMB = 90° \). Это означает, что точка C совпадает с точкой B, что противоречит условию задачи, так как тогда МС была бы высотой, проведенной из B к AM.
• Предположим, что С — точка на гипотенузе АВ, и МС — высота, проведенная из вершины М к гипотенузе АВ. В этом случае, расстояние от точки С до прямой АМ будет равно длине отрезка СК, где СК перпендикулярно АМ.
• Если предположить, что АВМ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине М, а С — точка на гипотенузе АВ, и МС — высота, проведенная к гипотенузе, то:
• В \( △ AMB \), \( △ B = 60° \), \( △ A = 30° \), \( AB = 9,6 \) см.
• \( AM = AB ⋅ `\sin(60°) = 9,6 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4,8\sqrt{3} \) см.
• \( BM = AB ⋅ `\cos(60°) = 9,6 ⋅ 0,5 = 4,8 \) см.
• Площадь \( △ AMB = 1/2 ⋅ AM ⋅ BM = 1/2 ⋅ 4,8\sqrt{3} ⋅ 4,8 = 11,52\sqrt{3} \) см².
• Площадь также равна \( 1/2 ⋅ AB ⋅ MC \).
• \( 1/2 ⋅ 9,6 ⋅ MC = 11,52\sqrt{3} \).
• \( 4,8 ⋅ MC = 11,52\sqrt{3} \).
• \( MC = 11,52\sqrt{3} / 4,8 = 2,4\sqrt{3} \) см.
• Теперь нам нужно найти расстояние от точки С до прямой АМ. Это и есть высота СК.
• В прямоугольном треугольнике \( △ AMC \), \( △ A = 30° \), \( MC = 2,4\sqrt{3} \).
• \( CK = MC ⋅ `\sin(30°) = 2,4\sqrt{3} ⋅ 0,5 = 1,2\sqrt{3} \) см.

Ответ: $$1,2\sqrt{3}$$ см