4. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см. Угол A равен 60°, а высота BH делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём \(AB=8\) см и \(\angle A=60^\circ\).

Так как \(BH\) — высота, то:

\(BH=AB\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\) см.

Проекция боковой стороны на основание:

\(AH=AB\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4\) см.

По условию \(BH\) делит основание \(AD\) пополам, значит \(HD=AH=4\) см. Тогда \(AD=8\) см, а верхнее основание \(BC=4\) см.

Площадь трапеции:

\(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{8+4}{2}\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\) см².

Ответ: \(24\sqrt3\) см².