4. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 10, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 5√3.

Пусть меньшее основание \(BC=5\sqrt3\). В прямоугольной трапеции диагональ \(BD\) образует прямоугольный треугольник с катетами \(BC\) и высотой трапеции.

По теореме Пифагора:

\[BD^2=BC^2+h^2,\]

\[10^2=(5\sqrt3)^2+h^2,\]

\[100=75+h^2,\qquad h^2=25,\qquad h=5.\]

Так как \(\angle A=45^\circ\), горизонтальная разность оснований равна высоте:

\[AD-BC=h=5.\]

Большая боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(h=5\) и \(AD-BC=5\):

\[l=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2.\]

Ответ: \(5\sqrt2\).