4. В прямоугольной трапеции АВСД боковая сторона равна АВ=10 см, большее основание АД= 18 см, ∠Д =45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции \( ABCD \) с прямым углом \( \angle DAB \) и \( \angle ADC \), боковая сторона \( AB \) перпендикулярна основаниям, поэтому \( AB \) является высотой трапеции. Однако, по условию, \( AB = 10 \) см, и \( \angle D = 45^{\circ} \). Если \( AB \) — боковая сторона, то \( BC \) — высота, или \( CD \) — боковая сторона. Исходя из рисунка и условия, \( AB \) и \( CD \) — боковые стороны, а \( AD \) и \( BC \) — основания. В прямоугольной трапеции одно из оснований перпендикулярно боковой стороне.

Предположим, что \( AD \) и \( BC \) — основания, а \( AB \) — высота, и \( \angle A = \angle B = 90^{\circ} \). Тогда \( CD \) — наклонная боковая сторона. Но по условию, \( \angle D = 45^{\circ} \), что противоречит тому, что \( AD \) — большее основание и \( \angle D \) — прямой.

Рассмотрим случай, когда \( AD \) и \( BC \) — основания, \( AD \) — большее, \( \angle D = 45^{\circ} \). Если трапеция прямоугольная, то один из углов при основании прямой. Если \( \angle D = 45^{\circ} \), то \( \angle A \) должен быть прямым, то есть \( \angle A = 90^{\circ} \). Тогда \( AB \) — высота, \( AB = 10 \) см. Тогда \( CD \) — наклонная сторона. Но сказано, что \( AB=10 \) см — боковая сторона.

Наиболее вероятная интерпретация: \( AD \) и \( BC \) — основания, \( AD \) — большее основание. \( AB \) — высота, \( AB = 10 \) см. \( \angle D = 45^{\circ} \).

Чтобы найти площадь, нам нужно знать длину второго основания \( BC \). Проведем высоту \( BE \) из вершины \( B \) к основанию \( AD \). Тогда \( AB = DE = 10 \) см, и \( \angle D = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( CDE \), \( \angle CDE = 45^{\circ} \), значит \( \triangle CDE \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.

\( CD \) — наклонная боковая сторона. Если \( AB=10 \) см — боковая сторона, и трапеция прямоугольная, то \( BC \) — высота, \( BC=10 \) см. И \( \angle A = 90^{\circ} \).

Исходя из условия \( \angle D = 45^{\circ} \), и \( AD = 18 \) см — большее основание. Если \( AB \) — высота, то \( AB = 10 \) см. Проведем высоту \( CK \) к \( AD \). Тогда \( AB = CK = 10 \) см. \( \angle D = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( CKD \), \( \angle KDC = 45^{\circ} \), значит \( \triangle CKD \) — равнобедренный прямоугольный. \( KD = CK = 10 \) см.

\( AK = BC \) — меньшее основание.

\( AD = AK + KD \)

\( 18 = BC + 10 \)

\( BC = 18 - 10 = 8 \) см.

Теперь у нас есть все данные для площади трапеции:

\( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \)

\( S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB \)

\( S = \frac{18 + 8}{2} \cdot 10 \)

\( S = \frac{26}{2} \cdot 10 \)

\( S = 13 \cdot 10 = 130 \) см²

Ответ: 130 см².