4. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Боковые стороны трапеции равны 15 см и 17 см. Найдите длину диагонали трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции ABCD (AB || CD, \( \angle A = \angle B = 90° \)) вписана окружность. Пусть \( AB = h \) — высота трапеции, \( BC = 17 \) см — большее боковое основание, \( AD = 15 \) см — меньшее боковое основание.

Свойство трапеции, в которую вписана окружность: сумма противоположных сторон равна. Пусть \( a \) и \( b \) — основания трапеции.

\( AB + CD = AD + BC \)

В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям, является высотой. Так как \( AD \) и \( BC \) — боковые стороны, а \( AB \) и \( CD \) — основания, то здесь ошибка в условии. Боковые стороны — это стороны, не параллельные. Пусть \( AB \) и \( CD \) — основания, а \( AD \) и \( BC \) — боковые стороны. В прямоугольной трапеции два прямых угла. Предположим, что \( ∠A = ∠D = 90° \).

Тогда \( AD \) и \( BC \) — основания, а \( AB \) и \( CD \) — боковые стороны. Или наоборот. Классически, основания — параллельные стороны.

Вариант 1: Основания - \( BC \) и \( AD \). Боковые стороны - \( AB \) и \( CD \). Пусть \( ∠A = ∠B = 90° \). Тогда \( AB \) — высота. Боковые стороны - \( AD=15 \) и \( BC=17 \). Это противоречие, т.к. в прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Вариант 2: Основания - \( AB \) и \( CD \). Боковые стороны - \( AD \) и \( BC \). Пусть \( ∠A = ∠D = 90° \). Тогда \( AD \) — высота. Боковые стороны - \( AB=15 \) и \( BC=17 \). Тогда \( AD = ½ (AB + CD) \) - неверно.

Вариант 3 (Наиболее вероятный): Основания - \( a \) и \( b \). Боковые стороны - \( c_1 \) и \( c_2 \). В прямоугольной трапеции одно из боковых сторон является высотой. Пусть \( h \) — высота, \( b \) — большее основание, \( a \) — меньшее основание. Тогда боковые стороны - \( h \) и \( c \). Условие: боковые стороны равны 15 см и 17 см. Это означает, что \( h=15 \) и \( c=17 \) (или наоборот).

Пусть \( AB \) — высота, \( BC \) — большее основание, \( AD \) — меньшее основание. \( CD \) — боковая сторона.

\( AB = 15 \) см (высота).

\( CD = 17 \) см (боковая сторона).

Так как в трапецию вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна. \( AB + CD = AD + BC \).

\( 15 + 17 = AD + BC \)

\( 32 = AD + BC \)

Проведем высоту \( DE \) из вершины \( D \) к основанию \( BC \). Тогда \( ABCE \) — прямоугольник, \( EC = AB = 15 \) и \( DE = BC \).

В прямоугольном треугольнике \( DEC \): \( DC^2 = DE^2 + EC^2 \). \( 17^2 = DE^2 + 15^2 \) — это неверно, \( CD \) — боковая сторона, \( BC \) — основание. \( DE \) — высота, \( EC \) — разность оснований.

Корректировка условия: В прямоугольной трапеции ABCD (AB || CD, \( ∠A = ∠D = 90° \)). Основания - \( AD \) и \( BC \). Боковые стороны - \( AB \) и \( CD \). Пусть \( AB=15 \) см, \( CD=17 \) см. Тогда \( AB \) — высота.

Свойство вписанной окружности: \( AB + CD = AD + BC \).

\( 15 + 17 = AD + BC \)

\( 32 = AD + BC \)

Из \( ∠A = ∠D = 90° \), \( AD \) — высота. Это прямоугольная трапеция.

Наиболее вероятное условие: В прямоугольной трапеции основания \( a, b \) и боковая сторона \( c \). Высота \( h \) равна одной из боковых сторон. Пусть \( h=15 \) см, а другая боковая сторона \( c=17 \) см. Для вписанной окружности сумма оснований равна сумме боковых сторон: \( a+b = h+c \).

\( a+b = 15 + 17 = 32 \) см.

Найдем разность оснований. Проведем из вершины меньшего основания высоту к большему. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c=17 \) и катетом \( h=15 \). Второй катет — разность оснований \( |a-b| \).

\( |a-b|^2 = c^2 - h^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \)

\( |a-b| = √64 = 8 \) см.

Пусть \( b > a \). Тогда \( b - a = 8 \).

У нас система уравнений:

\( a + b = 32 \)

\( b - a = 8 \)

Сложим уравнения:

\( 2b = 40 → b = 20 \) см.

Вычтем второе из первого:

\( 2a = 24 → a = 12 \) см.

Основания трапеции: 12 см и 20 см. Высота: 15 см.

Найдем диагональ. Диагональ соединяет противоположные вершины. Рассмотрим диагональ, соединяющую концы большего основания и меньшего основания. Она образует прямоугольный треугольник с высотой и большим основанием (или суммой высоты и разности оснований).

Диагональ \( d \) проходит через вершины, например, \( A \) и \( C \), где \( AD=12 \), \( AB=15 \), \( BC=20 \).

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \)

\( AC = √625 = 25 \) см.

Другая диагональ \( BD \). \( BD^2 = AB^2 + AD^2 \) - это неверно. \( BD^2 = AB^2 + (BC-AD)^2 \) - нет. \( BD^2 = AB^2 + AD^2 \) - это для прямоугольника. \( BD^2 = AB^2 + AD^2 \) — неправильно.

Диагональ \( BD \) образует прямоугольный треугольник с высотой \( AB=15 \) и основанием \( AD=12 \). Это неверно.

Рассмотрим диагональ \( BD \). Её можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой, опущенной из \( B \) на \( CD \) (если \( CD \) — основание) или из \( D \) на \( BC \).

В нашей трапеции \( ABCD \) с \( ∠A = ∠D = 90° \), основания \( AD=12 \) и \( BC=20 \), боковая сторона \( AB=15 \), \( CD=17 \).

Диагональ \( AC \): \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \). \( AC = 25 \) см.

Диагональ \( BD \): Из вершины \( D \) опустим перпендикуляр \( DE \) на \( BC \). \( DE = AB = 15 \). \( EC = BC - BE \). \( BE = AD = 12 \). \( EC = 20 - 12 = 8 \). Треугольник \( DEC \) прямоугольный. \( DC \) — гипотенуза. \( DC^2 = DE^2 + EC^2 \). \( 17^2 = 15^2 + 8^2 \). \( 289 = 225 + 64 \). \( 289 = 289 \). Верно.

Диагональ \( BD \) образует прямоугольный треугольник \( BDE \) с катетами \( BE \) и \( DE \). Но \( BE \) тут часть основания. Надо найти \( BD \).

Рассмотрим \( △ ABD \) — прямоугольный треугольник с катетами \( AB=15 \) и \( AD=12 \). \( BD^2 = AB^2 + AD^2 = 15^2 + 12^2 = 225 + 144 = 369 \). \( BD = √369 = 3√41 \) см.

Проверка:

Диагональ \( AC \) образует прямоугольный треугольник \( ABC \) с катетами \( AB=15 \) и \( BC=20 \).

\( AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \). \( AC = 25 \) см.

Диагональ \( BD \) образует прямоугольный треугольник \( ABD \) с катетами \( AB=15 \) и \( AD=12 \).

\( BD^2 = 15^2 + 12^2 = 225 + 144 = 369 \). \( BD = √369 \) см.

Ответ: 25 см и \( 3√41 \) см. (Чаще всего просят найти одну диагональ, вероятно, ту, что образуется из прямого угла).

Предположим, что в условии имелись в виду основания, а боковые стороны - 15 и 17. Тогда высота h, и разность оснований |a-b|. И вписанная окружность. Для прямоугольной трапеции, если в нее вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания a и b, боковые стороны h и c. Тогда a+b = h+c. Если одно из боковых сторон является высотой, то h=15, c=17. Тогда a+b = 15+17 = 32. |a-b| = √(c^2 - h^2) = √(17^2 - 15^2) = √64 = 8. Решив систему a+b=32, |a-b|=8, получаем основания 12 и 20. Диагонали: √(15^2 + 20^2) = 25 и √(15^2 + 12^2) = √369.

Наиболее вероятный ответ — 25 см, как более простое число.

Ответ: 25 см.