6. В окружности с центром в точке О, хорды KL и MN параллельны, а хорда КМ является диаметром. а) Докажите, что KLMN — прямоугольник. б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если известно, что \( ∠MKL = 25° \).

Решение:

а) Доказательство того, что KLMN — прямоугольник.

Дано: Окружность с центром O. Хорды KL || MN. КМ — диаметр.

1. Так как КМ — диаметр, то он делит окружность на две полуокружности. Углы, вписанные в полуокружность, являются прямыми. Следовательно, \( ∠KNM = 90° \) и \( ∠KLM = 90° \).

2. Так как KL || MN, то дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. Следовательно, дуга KN = дуга LM.

3. Равные дуги стягиваются равными хордами, значит, хорда KN = хорда LM.

4. Угол \( ∠LKM \) вписан и опирается на дугу LM. Угол \( ∠MNK \) вписан и опирается на дугу KN. Так как дуга KN = дуга LM, то \( ∠LKM = ∠MNK \).

5. Угол \( ∠KML \) вписан и опирается на дугу KL. Угол \( ∠KNL \) вписан и опирается на дугу KL. Значит, \( ∠KML = ∠KNL \).

6. Рассмотрим четырехугольник KLMN. Мы уже доказали, что \( ∠KNM = 90° \) и \( ∠KLM = 90° \).

7. Так как KL || MN, и КМ — секущая, то \( ∠LKM + ∠KMN = 180° \) (как односторонние углы при параллельных прямых и секущей КМ). Но это не помогает доказать, что углы \( ∠LMN \) и \( ∠NKL \) прямые.

8. Рассмотрим свойство параллельных хорд. Если хорды KL и MN параллельны, то дуга KM = дуга LN. (Это неверно. Дуги между параллельными хордами равны, т.е. дуга KN = дуга LM).

9. Углы \( ∠KLM = 90° \) и \( ∠KNM = 90° \).

10. Так как KL || MN, то сумма углов \( ∠KLM + ∠LMN = 180° \) (если LM — секущая). Это неверно. LM — хорда.

11. Так как KL || MN, то \( ∠LKN + ∠KMN = 180° \) (как односторонние углы при параллельных прямых KL, MN и секущей KN).

12. Углы \( ∠KLM = 90° \) и \( ∠KNM = 90° \). Теперь нужно доказать, что \( ∠LMN = 90° \) и \( ∠NKL = 90° \).

13. Так как КМ — диаметр, он делит окружность пополам. Дуга KLM = 180°. Дуга KNM = 180°.

14. Дуга KL + Дуга LM = 180° (из \( ∠KLM = 90° \)).

15. Дуга KN + Дуга NM = 180° (из \( ∠KNM = 90° \)).

16. Мы уже доказали, что Дуга KN = Дуга LM.

17. Из (14) и (15) следует, что Дуга KL + Дуга LM = Дуга KN + Дуга NM = 180°.

18. Если Дуга KN = Дуга LM, то Дуга KL = Дуга MN.

19. Четырехугольник KLMN вписан в окружность. У него \( ∠KLM = 90° \) и \( ∠KNM = 90° \). Этого достаточно, чтобы он был вписанным четырехугольником. Чтобы он был прямоугольником, нужно, чтобы все углы были прямыми.

20. Так как Дуга KL = Дуга MN, то хорды KL = MN.

21. Так как Дуга KN = Дуга LM, то хорды KN = LM.

22. Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, является параллелограммом. \( KL=MN \) и \( KN=LM \).

23. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. У нас есть \( ∠KLM = 90° \).

Следовательно, KLMN — прямоугольник.

б) Нахождение угла между диагоналями.

Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в точке пересечения диагоналей, делятся пополам. Диагонали прямоугольника KLMN — это KM (диаметр) и LN.

В прямоугольнике KLMN, \( ∠MKL = 25° \).

Так как KM — диаметр, он проходит через центр O. KM = 2R.

Рассмотрим \( △ OKL \). OK = OL = R (радиусы). Треугольник равнобедренный.

\( ∠OLK = ∠LKO = 25° \).

\( ∠LOM \) (центральный угол) = \( 180° - (∠OLK + ∠LKO) = 180° - (25° + 25°) = 180° - 50° = 130° \). Это неверно. \( ∠LOM \) — это центральный угол, соответствующий дуге LM. Угол \( ∠LKM = 25° \) — вписанный, опирается на дугу LM. Значит, дуга LM = \( 2 · 25° = 50° \).

Центральный угол \( ∠LOM \) = Дуга LM = \( 50° \).

Так как KLMN — прямоугольник, диагонали равны: KM = LN. Точка пересечения диагоналей — O (центр окружности).

Рассмотрим \( △ OLM \). OL = OM = R. \( ∠OLM = ∠OML \). Сумма углов треугольника \( 180° \). \( ∠LOM = 50° \). \( ∠OLM + ∠OML = 180° - 50° = 130° \). \( ∠OLM = ∠OML = 130° / 2 = 65° \).

Диагонали — KM и LN. Они пересекаются в точке O.

Углы между диагоналями — это углы \( ∠KOL \) и \( ∠MON \) (вертикальные) и \( ∠LOM \) и \( ∠KON \) (вертикальные).

Мы нашли \( ∠LOM = 50° \). Значит, \( ∠KON = 50° \).

Угол \( ∠KLM = 90° \). \( ∠KLM = ∠KLO + ∠OLM = 90° \).

\( ∠KLO + 65° = 90° → ∠KLO = 90° - 65° = 25° \).

В \( △ KOL \): OK = OL = R. \( ∠KOL = 180° - (∠OKL + ∠OLK) = 180° - (25° + 25°) = 180° - 50° = 130° \).

Углы между диагоналями \( KM \) и \( LN \) равны \( 50° \) и \( 130° \).

Проверка:

\( ∠MKL = 25° \) (дано).

В \( △ OKL \): OK = OL, \( ∠OKL = ∠OLK = 25° \). \( ∠KOL = 180° - (25° + 25°) = 130° \).

В \( △ LOM \): OL = OM, \( ∠LOM \) — центральный угол, соответствующий вписанному \( ∠LKM = 25° \). \( ∠LOM = 2 · 25° = 50° \).

\( ∠OLM = ∠OML = (180° - 50°) / 2 = 65° \).

Углы между диагоналями: \( ∠KOL = 130° \) и \( ∠LOM = 50° \).

Острый угол между диагоналями равен \( 50° \).

Ответ: а) Доказано. б) 50°.