4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 15. Найдите длину стороны ВС.

Пусть высота, проведенная из вершины B, пересекает сторону AC в точке H. Рассмотрим треугольник ABH, он является прямоугольным.
Угол A равен 120°, но высота делит угол ABC пополам. Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны (180-120)/2 = 30 градусов. Высота является биссектрисой.
Теперь рассмотрим треугольник ABH. ∠BAH = 120°/2=60°. ∠ABH=90-60=30.
sin(60) = BH/AB. AB=15/sin(60)=15/(√3/2) =30/√3 = 10√3.
∠B=30.
AH = AB*cos(60)=10√3* 1/2 =5√3.
AC=2AH = 10√3
Используем теорему косинусов, чтобы найти BC:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cos(120)
BC^2 = (10√3)^2 + (10√3)^2 - 2*10√3*10√3 * (-1/2)
BC^2 = 300+300+300 = 900.
BC=√900=30
Ответ: 30