4. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 19 см и BC = 13 см, ∠D = 45°, найдите сторону PABCD.

Разность оснований равна \(19 - 13 = 6\) см. В равнобедренной трапеции выступы меньшего основания по краям равны, поэтому проекция каждой боковой стороны равна \(6 : 2 = 3\) см.

Из прямоугольного треугольника при вершине D: \(\cos 45^\circ = \frac{3}{CD}\), откуда \(CD = \frac{3}{\cos 45^\circ} = 3\sqrt{2}\) см. Боковые стороны равны, значит \(AB = CD = 3\sqrt{2}\) см.

Периметр: \(P_{ABCD} = 19 + 13 + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 32 + 6\sqrt{2}\) см.

Ответ: \(P_{ABCD} = 32 + 6\sqrt{2}\) см.