4. В равнобедренной трапеции биссектриса угла при меньшем основании является диагональю трапеции. Найдите периметр трапеции, если её основания равны 4 и 11.

Пусть меньшее основание равно 4, большее — 11. В равнобедренной трапеции выступы большего основания равны, поэтому каждый равен \((11-4)/2=3.5\).

Рассмотрим угол при вершине меньшего основания, биссектрисой которого является диагональ. В треугольнике, образованном боковой стороной и меньшим основанием, эта диагональ — биссектриса угла. По теореме о биссектрисе отношение прилежащих сторон равно отношению отрезков противоположной стороны.

Для наглядности обозначим вершины так, чтобы биссектрисой угла при \(B\) была диагональ \(BD\). Тогда на большем основании \(AD=11\), а его часть \(AB\)'s горизонтального выступа равна \(3.5\); отрезок от проекции \(B\) до \(D\) равен \(11-3.5=7.5\). Из условия биссектрисы получаем, что боковая сторона равна \(3.5+7.5=11\). Следовательно, обе боковые стороны равны 11.

Периметр: \(P=4+11+11+11=37\).

Ответ: 37.