4. В равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и BC, BC = 4 см, ∠BDC = 30°, ∠BDA = 45°. Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции, и её боковую сторону.

Равнобокая трапеция является вписанной в окружность. В треугольнике BDC сторона \(BC=4\) см лежит напротив угла \(\angle BDC=30^\circ\). Радиус описанной окружности этой же окружности:

\(R=\frac{BC}{2\sin\angle BDC}=\frac{4}{2\sin30^\circ}=4\) см.

Поскольку \(AD\parallel BC\), углы \(\angle BDA\) и \(\angle DBC\) равны как накрест лежащие: \(\angle DBC=45^\circ\). Тогда \(\angle BCD=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\).

По теореме синусов в треугольнике BDC боковая сторона \(CD\) равна \(\frac{CD}{\sin45^\circ}=\frac{BC}{\sin30^\circ}\), откуда \(CD=4\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=4\sqrt2\) см. В равнобокой трапеции боковые стороны равны.

Ответ: радиус 4 см, боковая сторона \(4\sqrt2\) см.