4. В равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и BC: ∠BDA = 45°. Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции, и ее боковую сторону, если BC = 4 см, ∠BDC = 30°.

Поскольку \(AD\parallel BC\), углы \(BDA\) и \(DBC\) равны как накрест лежащие: \(\angle DBC=45^\circ\). В треугольнике BDC тогда \(\angle BCD=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\).

По теореме синусов для описанной окружности трапеции (она существует, поскольку равнобокая трапеция циклическая): \(\frac{BC}{\sin\angle BDC}=2R\). Следовательно, \(2R=\frac{4}{\sin30^\circ}=8\), то есть \(R=4\) см.

В том же треугольнике BDC по теореме синусов боковая сторона \(CD\) равна \(\frac{CD}{\sin45^\circ}=\frac{BC}{\sin30^\circ}\), откуда \(CD=4\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=4\sqrt2\) см. Боковые стороны равнобокой трапеции равны.

Ответ: радиус — 4 см, боковая сторона — 4√2 см.