4. В ромбе ABCD диагонали AC = 12 см и BD = 16 см. Точки M, N, K и L — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что MNKL — прямоугольник, и найдите его периметр.

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии MN ∥ AC и MN = AC : 2 = 6 см.

Аналогично, в треугольнике BCD отрезок NK — средняя линия: NK ∥ BD и NK = BD : 2 = 8 см. По той же теореме KL ∥ AC, KL = 6 см, а LM ∥ BD, LM = 8 см.

Следовательно, противоположные стороны MNKL попарно параллельны, то есть MNKL — параллелограмм. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому AC ⟂ BD. Так как MN ∥ AC и NK ∥ BD, угол MNK прямой. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Периметр: 2 · (6 + 8) = 28 см.

Ответ: MNKL — прямоугольник, его периметр равен 28 см.