4. В ромбе ABCD проведена диагональ AC. а) Докажите, что диагональ AC делит угол BAD пополам. б) Найдите периметр ромба, если AC = 12 см, а угол BAD равен 60°.

а) В ромбе все стороны равны, поэтому \(AB=AD\) и \(BC=CD\). Сторона \(AC\) общая для треугольников ABC и ADC. Следовательно, эти треугольники равны по трём сторонам. Значит, соответствующие углы равны: \(\angle BAC=\angle CAD\). Поэтому диагональ AC делит угол BAD пополам.

б) Из пункта а) следует, что \(\angle BAC=30°\). Треугольник ABC равнобедренный, так как \(AB=BC\); поэтому \(\angle ACB=30°\), а \(\angle ABC=120°\).

По теореме синусов в треугольнике ABC:

\(\dfrac{AB}{\sin 30°}=\dfrac{AC}{\sin 120°}\), поэтому \(AB=12\cdot\dfrac{\sin 30°}{\sin 120°}=12\cdot\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=4\sqrt{3}\) см.

Периметр ромба: \(P=4AB=16\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(16\sqrt{3}\) см.