4*. В трапеции ABCD BC : AD = 1 : 2, E — середина боковой стороны CB, точка M лежит на AE так, что AM : ME = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка M лежит на диагонали BD.

Условие в указанном виде противоречиво: из него не следует, что M лежит на BD.

Пусть \(A\) — начало отсчёта, \(\overrightarrow{AD}=\vec d\), \(\overrightarrow{AB}=\vec b\). Поскольку основания AD и BC параллельны и \(BC:AD=1:2\), имеем \(\overrightarrow{BC}=-\frac12\vec d\). Поэтому \(\overrightarrow{AC}=\vec b-\frac12\vec d\).

E — середина CB, следовательно, \(\overrightarrow{AE}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\vec b-\frac14\vec d\). Из отношения \(AM:ME=4:1\) следует \(\overrightarrow{AM}=\frac45\overrightarrow{AE}=\frac45\vec b-\frac15\vec d\).

Для точки на диагонали BD коэффициенты при \(\vec b\) и \(\vec d\) должны в сумме давать 1: её радиус-вектор имеет вид \((1-t)\vec b+t\vec d\). Здесь сумма коэффициентов равна \(\frac45-\frac15=\frac35\), поэтому M в общем случае не лежит на BD. Вероятно, в условии опечатка; требуется уточнить исходное отношение или данные.