4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину основания AD, если периметр трапеции равен 100 см.

Поскольку AB — боковая сторона, основания трапеции — AD и BC, то есть AD ∥ BC.

В прямоугольном треугольнике ABD угол B прямой, а ∠ADB = 30°. Обозначим AD = x. Это гипотенуза, поэтому AB = x/2, а BD = (√3/2)x.

Так как AD ∥ BC, угол между BD и BC равен углу между BD и AD, то есть 30°. В треугольнике BCD углы при B и D равны 30°, поэтому BC = CD. Сторона BC, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы BD: BC = BD/2 = (√3/4)x. (Здесь CD = BD/2 также следует из того, что CD лежит напротив угла 30°.)

Периметр:

x + x/2 + (√3/4)x + (√3/4)x = 100.

Отсюда x(3/2 + √3/2) = 100, поэтому x = 200/(3 + √3) = 100(3 − √3)/3 см.

Ответ: AD = 100(3 − √3)/3 см.