4. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 35° и ∠BDC = 58°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Раз AB = CD, то трапеция ABCD — равнобедренная. Это значит, что углы при основании равны, а диагонали равны.

В равнобедренной трапеции углы, опирающиеся на одну боковую сторону, равны. Также равны углы, образованные диагоналями и основаниями.

Нам дано, что ∠ BDA = 35° и ∠ BDC = 58°.

Угол ∠ ADC = ∠ BDA + ∠ BDC = 35° + 58° = 93°.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, ∠ BCD = ∠ ADC = 93°.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Значит, ∠ ABC + ∠ BCD = 180°.

∠ ABC = 180° - 93° = 87°.

Теперь рассмотрим диагональ BD. Она делит угол ∠ ABC на два угла: ∠ ABD и ∠ DBC.

∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC

В равнобедренной трапеции углы, образованные диагональю и боковой стороной, равны. То есть ∠ CAD = ∠ BDA = 35° и ∠ ACB = ∠ BDC = 58°.

Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в нем равна 180°:

∠ CBD + ∠ BDC + ∠ BCD = 180°

∠ CBD + 58° + 93° = 180°

∠ CBD = 180° - 58° - 93° = 29°.

Теперь мы можем найти ∠ ABD:

∠ ABD = ∠ ABC - ∠ CBD = 87° - 29° = 58°.

Ответ: 58°