№ 4. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC и перпендикулярными диагоналями провели высоту CK и оказалось, что AK = CK. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Пусть K — основание высоты из C на AD. Обозначим CK = AK = h, BC = b, AB = x, AD = d.

1. Поскольку BC ∥ AD, горизонтальная проекция AB равна AK − BC, поэтому x как горизонтальный отрезок от A до проекции B равен h − b.
2. Расположим A=(0,0), K=(h,0), C=(h,h), B=(h−b,h), D=(d,0). Перпендикулярность диагоналей AC и BD даёт h(d−h+b)−h²=0, откуда d−h+b=h.
3. Значит, d−h=h−b. Поэтому горизонтальные проекции боковых сторон AB и CD равны: h−b. Их высоты тоже равны CK. По теореме Пифагора AB=CD.

Ответ: AB=CD, следовательно, трапеция равнобедренная.