№ 7. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона AB равна основанию BC и угол ABD — прямой. Докажите, что CMD — равнобедренный треугольник, где M — точка пересечения диагоналей трапеции.

Расположим прямоугольную трапецию так: A=(0,0), D=(L,0), C=(L,h), B=(x,h). Тогда CD ⟂ AD, а BC=L−x.

1. Условие ∠ABD=90° означает, что векторы BA и BD перпендикулярны: h²=xL.
2. Из AB=BC следует x²+h²=(L−x)². Подставляя h²=xL, получаем x=L/3 и h²=L²/3.
3. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M=(L/2,h/2). Тогда CM²=(L/2)²+(h/2)², а DM²=(L/2)²+(h/2)². Значит, CM=DM.

Следовательно, треугольник CMD равнобедренный.