4. В трапеции АВСД диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СД и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 50 см, ∠В = 120°.

Так как \(CD\) названа боковой стороной, основания трапеции — \(AD\) и \(BC\), то есть \(AD\parallel BC\).

Смежные углы при боковой стороне \(AB\) дополняют друг друга до \(180^\circ\): \(\angle A=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Диагональ \(AC\) — биссектриса, значит \(\angle BAC=\angle CAD=30^\circ\).

В треугольнике \(ACD\): \(AC\perp CD\), поэтому \(\angle ACD=90^\circ\), а \(\angle ADC=60^\circ\). Следовательно, \(AC=\sqrt{3}\,CD\).

В треугольнике \(ABC\) углы при \(A\) и \(C\) равны \(30^\circ\), поэтому противоположные им стороны равны: \(AB=BC\). Кроме того, \(AC=\sqrt{3}\,AB\). Значит, из \(AC=\sqrt{3}\,CD\) следует \(AB=CD\).

В треугольнике \(ACD\) сторона \(AD\), лежащая напротив угла \(90^\circ\), вдвое больше стороны \(CD\), лежащей напротив угла \(30^\circ\): \(AD=2CD\). Поэтому периметр равен \(AB+BC+CD+AD=5CD=50\), откуда \(CD=10\) см и \(AB=10\) см.

Ответ: 10 см.